数学/逻辑 & 物质/意识

以下选自 <<哥德尔传>>

逻辑一词源于希腊文ｌｏｇｏｓ。最初有思想、理性、词语等多种含义。亚里士多德使逻辑成为一门专门的学问，将其定义为关于证明的学问。也就是说，逻辑是一些逻辑规律与演绎规则，它们保证人们从前提到结论的推演是严格与正确的。当然，这一对亚里士多德逻辑定义的解说已有了一些现代的味道。在以后人类知识的发展中，这样一套逻辑规律与推演规则成为人类所有知识可靠性与确定性的基础。由此推演出来的知识被认为是被证明了的。

其实人类一直在给自己已有的和未来的知识的确定性寻找一个坚实的基础，没有这样一个基础，人类就永远会对自己的知识表示怀疑。哲学史上无休无止的争论其实就是对我们的知识是否有确定性以及这种确定性的来源的争论。这是我们理解柏拉图、理解休谟、理解康德以及以后逻辑经验主义的一条路径。

数学家、逻辑学家与哲学家不同，他们不满足仅仅给知识的确定性一个形而上学的解释。他们企图用逻辑与数学为人类的知识建立一个严格的、自满自足的、与形而上学无关的基础。这就是弗雷格以后逻辑发展的一个重要方向，即建立一个自足的完全的逻辑演算，这个逻辑演算不仅仅要包括一切的逻辑规律与推理形式，而且要对其一致性与完全性进行严格的证明。这是一个伟大的计划，即便它以后遭遇了失败，它也比无数雕虫小技要高明得多。

与这个计划相关联的是关于数学基础的讨论。我们知道与逻辑有着天然联系的是数学。甚至有人认为逻辑只是数学的更为一般的形式，当然，也有人认为数学是逻辑的延伸。但不管二者关系如何，数学作为一门演绎的科学，它的确定性几乎与逻辑的确定性等价。但非欧几何的诞生以及它与欧几里德集合的相对一致性，更进一步的是集合论悖论的发现使数学家发现了一项必须去做的工作，这就是用一些简单的、可靠的逻辑与数学作为工具去证明我们已有的各个数学系统的绝对的一致性。这样，我们才可以放心地享用我们已有了的丰富的数学知识的宝藏，由此，我们也就找到了知识确定性的坚实无比的基础。这就是希尔伯特方案。

希尔伯特方案的基础是一套形式系统方法。所谓形式系统方法就是只考虑符号的种类，符号的排列以及从符号序列到符号序列的变形而不考虑它们的意义的一种方法。一个形式系统通常由这样几部分组成：（１）各种初始符号，它们是系统的字母表；（２）形成规则，它们规定哪些符号序列是合式的，合式的符号序列称为合式公式；（３）公理，它们是被挑选出来的一些合式公式，作为系统推演的出发点；（４）变形规则，它们明确规定一个合式公式怎样可以变换为另一个合式公式。形式系统就是这样一个“无意义”的框架。我们之所以可以抽象地考虑这样的框架，这是有弗雷格与罗素的工作在前面垫底的。弗雷格为了使逻辑的推理严密化，想到了发明一种表意的语言，使其与所表达的涵义在某些方面有了精确的对应，这项工作是逻辑发展史中的一个大手笔；而罗素对数学本质的论述则直接切入到了希尔伯特方案的核心，罗素认为，纯数学是这样一门学科，在其中我们并不知道我们在谈论什么，或者我们不知道所谈论者是否是真的。

正是在这样一个无意义的框架下，数学的可证性成为一个技术上可操作的概念。在一个形式系统内，所谓证明就是有穷多个符号序列，其中每一个符号序列或者是一条公理，或者是从先行的符号序列应用变形规则得到的，最后一个符号序列被称为定理。全部定理构成了一个系统内可证的命题。

一个形式系统还必须满足一个基本要求，即要能在有穷步骤内根据已给定的机械方法判定一符号是否为本系统的初始符号；一符号序列是否为一合式公式；一合式公式是否为一公理；一有穷长的合式公式序列是否为一证明。由此我们可以看到，一个形式系统是一可数无穷集，对于它可以用有穷逻辑来研究。

希尔伯特方案以形式系统为出发点，进一步则开始考虑数学结构，也就是把数学对象与形式系统的符号串相匹配，从而企图发现一个没有内在矛盾的并且其定理完全符合于全部算术的真事实的形式系统。在希尔伯特方案以前，人们就已经知道作为整体的数学的一致性问题可以还原为算术一致性的问题。因此我们如果解决了算术形式系统的一致性问题，也就解决了整体数学的一致性问题。

在希尔伯特方案提出不到三年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的极有希望的梦想变成了令人沮丧的噩梦。哥德尔证明不存在也不可能存在满足希尔伯特方案全部要求的形式系统。即不存在能产生关于自然数的所有真理的规则。这不是哥德尔定理的一个严格描述。比较严格的表述是：（１）一个包括初等数论的形式系统Ｐ，如果是一致的，那么就是不完全的。（２）如果这样的系统是一致的，那么其一致性在本系统中不可证。这就是哥德尔著名的两条不完全性定理。

哥德尔定理的证明显示了哥德尔精湛的数学才能和他在错综复杂以至相互重叠的关系中游刃有余地把握其层次与区别的哲学素质。哥德尔告诉我们，数学的真与“可证性”是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。客观数学真理与可证性相比是一个高度超穷的概念。由此，企图仅仅用有穷逻辑与数学为人类知识的确定性建立一个自满自足的基础的努力也宣告失败。在超穷的领域中，悖论的阴影将永远伴随着我们。

人们习惯说，哥德尔定理揭示了形式系统的局限性，从而也揭示了机器代替人类思维的局限性。但这只是问题的一个方面，而更重要的一个方面在于正是希尔伯特的形式系统方法引导哥德尔证明了所有只要包含了初等数论的数学系统都是不完全的，没有形式系统的方法，我们就没有一条路径去得出如此深刻的结论。试想一下，我们人类已有的理论与方法哪个没有局限性，但通过自身对其局限性作出如此确定的结论的理论与方法又有几个。为此，我们发现数理逻辑是那么美妙的学问，形式系统方法是那么有生命力的方法，从弗雷格到希尔伯特再到哥德尔，他们在人类智力跋涉的艰难旅途上已走得那么遥远，他们为人类建立了又一种知识的模式，其深远意义至今还在被人们慢慢理解。如果我们依然相信知识的确定性，那些关于知识确定性来源的形形色色的哲学理论就还会存活着。但它们的存活方式已被哥德尔深深影响过。

衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。哥德尔最后因精神抑郁死于营养不良，也许很多人不喜欢如此惨淡的人生，但哥德尔所看到的灯火阑珊以及他的精神所迸放出的礼花又岂是我们这些凡夫俗子所能享用了的呢？我们每个人的床头实在应该有几本一时读不太懂但却可以慢慢咀嚼的书，它们将逐步拓宽我们的精神，我们的理想，我们的人生。

以下选自 http://lizhe.blogxjtu.com/index.php?op=ViewArticle&articleId=147

马克思哲学讲物质决定意识，但哲学不同于一般的科学，无人能确确实实的证明哲学的问题。哲学或者可以说是超脱了逻辑和数学。人在这个世界上，作为一种 高级的具有发达大脑的生物，并不能摆脱自然界的限制，不但行动要受制于自然的规律，而其更重要在于无法摆脱死亡的最终结局。活着的人不知道人死了，其思维 能力将去何处，死去的人也不能告诉自己到了哪里，正所谓“花落人亡两不知”。人们充满了对死亡的恐惧，由此开始对世界的思考。可以说，哲学就起因于人的有 限性，无论是空间还是时间。人们可以通过个人的实践，可以直接的获取自然科学的规律，但是却无法获得超越人实践以外的世界的认识。因此，人只能通过自身的 思维能力去构造未知世界的图景。人的认知世界的范围只不过是在逻辑和数学的范围内，逻辑和数学是人门对自然人知的最高形式，而其他的科学则是人的经验同逻 辑和数学的结合，其最基本出发点是随时代变化的，而逻辑和数学的原则对人来说是永恒的。这是人认识世界的最高限。但是，我们要问，我们的逻辑和数学是不是 仍旧适用于人实践能力以外的世界。应当说，人作为这个世界中的异同特殊的物质形态，其不可能超越其所处的世界，也不可能等同于整个世界，或许只能认识一小 部分世界，这是由人不是这个世界最高能力的物质，人本身不过是一种自然的现象，人的思维也不过是对自身行为有意义的现象，就像我们看一个动物，我们说他们 没有意识，但也许那个动物(也许是其他更高级的物质形式)看着我们,也说我们没有意识。对一个其他物质形式来说，意识之间是无法沟通和认知的，能认知的不 过是物质运动的表象。可以说马克思主义的哲学是一种人类自信的哲学，是把人的实践能力作为世界的范围（或许这句话应该倒过来说）。这个观点和其他观点一样 都是现在的人无法亲身证明的。这种自信再前进一步就是说人是整个世界的主。如果说万能的神是存在的，我们可以用一句话来驳倒“神能不能造一块自己搬不动的 石头”，这是个逻辑悖论，但是我们要说“神”的世界我们的逻辑到底还对不对。在数学和逻辑领域存在着很多人无法解决的矛盾，这应该是人自身的限制决定的。 我们的的认识只不过是自然的表象，最基本的逻辑和数学也是。我们不知这是不是完全符合这个世界，我们更不能用现象解释现象。人自身不过是一个特殊的现象， 它不是一个超越世界的东西。

以下选自 http://www.ccim.org/node/97

哥德尔(Kurt Gödel， 1906-1978)可称是自亚理斯多德以来最伟大的逻辑学家，他对当代数理逻辑的贡献，就好象爱因斯坦之于相对论，波尔之于量子力学。这三位都有犹太血统，他出生于奥匈帝国境内，今捷克摩拉维亚首府布诺城（Brno）德语区的犹太人； 学生时代就读于维也纳大学数学系，也因此受当时流行的维也纳逻辑实证论（Logic Positivism）影响，所谓的可检证性（Verification Principle），主张凡不可被检证的命题，都是无意义的，因为信仰世界无法被检证，因此对上帝的论述与神学语言是无意义的。

西方逻辑学发展渊远流长，但一直悬而未决的是逻辑的悖论（paradox），简单来说，悖论指的是看起来合理的推论过程，但结果却是矛盾的。悖论有许多种，其中有一种称为“说谎者悖论”（Liar’s paradox）。例如保罗在提多书一12提到：「有革哩底人中的一个本地先知说：『革哩底人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒。』这个见证是真的。」这位先知就是希腊诗人Epimenide，而到底革哩底人（克理特人）是说谎还是诚实呢？单从语意上来看，是真或假是无法判定的（undecided），因为在语法结构上，说谎者悖论的陈述，以及所有的悖论，都是一种自我指涉（self-reference）的逻辑结构。自我指涉表明在一般语言层次之上，还有一个元语言（meta-language）层次是用来讨论、描述原先的语言层次。例如，革哩底人常说谎话： 是属于语言层次； 而『 革哩底人常说谎话』是真的：是属于元语言层次。当两个层次混淆不清时，就产生悖论。

而什么是真呢？在哥德尔之前，都相信凡是真的都能被证明，这以大数学家希尔伯特（David Hilbert， 1862-1943）为代表的形式主义(Formalism)，主张一切数学都必须被证明建立在公理化的基础上。主张逻辑原子主义(Logic Atomism)的罗素（Bertrand Russell, 1872-1970），则相信一切语言都可建立在最基本的意义原子层次上，并以逻辑符号表达，因此与怀海德(Alfred Whitehead，1861-1947)合作写成《数学原理》一书。但是年轻的哥德尔勇敢质疑希尔伯特之公理化是否完备，以及罗素的逻辑原子是否有终极性。首先针对《数学原理》，他巧妙地将所有的形式逻辑之符号、公式、与证明，全都可一对一转换为自然数与质数等算术层次的表达。因此当说谎者悖论可以元语言表达为：「这句陈述是无法证明的。」时；同样，该命题也可以转换为在算术层次的表达。妙的是，其反面命题：「这句陈述是可以被证明的。」也可以转换为在算术层次的表达。所以，悖论作为可用算术表达的形式系统，是无法被证明为真或假；也就是，任何形式系统都隐藏着内在的不完备性（incompleteness）。完备性和一致性，二者不可兼得。

正如爱因斯坦的相对论，及以波尔、海森堡为代表的哥本哈根学派的量子力学，摇撼了牛顿经典物理学的基础。哥德尔不完备性定理，驳斥了希尔伯特的数学形式主义、罗素的逻辑原子主义，摇撼了数学大厦之基础；同样，也震撼到西方以笛卡尔、洛克为代表的基础主义（foundationalism）的知识论传统；哥德尔虽出身维也纳逻辑实证学派，他的理论无疑也大大冲击了该学派的学术立场。自1960年代以来，以林贝克（George Lindbeck）等人所倡导的后自由主义神学的兴起，该派认同维根斯坦（Ludwig Wittgenstein, 1895-1951）的哲学，视语言为一套游戏规则；维根斯坦与哥德尔一样，都是反对罗素的逻辑原子论，因此后自由主义神学也深深质疑以圣经神圣启示为基础命题的神学传统走向，转而强调信仰与教义仅为体系内的真理，并非放诸四海而皆准，反倒受人类语言、文化和社群之制约。

到底基督教信仰的逻辑与基础何在？当代著名基督教历史学家马斯顿（George M . Marsden）曾指出十九世纪美国保守派神学，由于过份强调以经验观察归纳为导向的培根式科学基础主义，以及苏格兰常识哲学（Scottish Common Sense Philosophy），在面对达尔文进化论质疑上帝创造的冲击时，常提不出有力的证据去反驳。 哥德尔的杰出贡献在于提出：凡是命题为真的，不见得一定可以被证明。反思哥德尔的理论，对基督教信仰而言：表示上帝的存在以及所有核心教义之命题为真，不一定非得用人间逻辑的演绎推理或证据归纳去证明！

当代归正思想家范泰尔（Cornelius Van Til）体察时弊，转而提出以三一真神为前提导向的神学思想为架构，这正是一种神圣三一逻辑体现于永恒界圣父、圣子、圣灵间的团契，也体现于三一神的创造与救赎历史。三一神乃是「自有永有者（I AM WHO I AM）」的本体存在，这就是约翰福音中基督自称为「我是 （I AM）」的自我指涉。三一神的本体存在（Being）与三一神的思维(Thought)是相一致的。除了神人之间本质上不可跨越的鸿沟外，神人之间也维持一种类比性的盟约关系；正如基督乃是那不能看见神的像（歌罗西一15），亚当之被造也被赋予神的形像。所以人类的思维逻辑具有盟约性与受造性，其做为神形像的一部份，必须是类比于、依附于三一神圣逻辑；人类的思维逻辑并非如逻辑实证主义所标榜之绝对中立自主，而将人间逻辑逐出于人神盟约关系之外。哥德尔已经指出人间逻辑系统之不完备性与有限性，但这又导致后现代主义藉题发挥，质疑基础主义之合法性，否认回归到启示之绝对权威；然而建基于神绝对主权启示的神圣三一逻辑，深知人间逻辑之受造性与依附性，因此可为哥德尔理论所质疑的人间逻辑之基础，提供了另一天窗。由范泰尔思想可看出：建立于启示的神圣三一逻辑，三与一同时并存；因此受造界（物质界与生命界）的统一性与多元性、单一性与复杂性也是同时并存。反之，进化论却认为宇宙天体与生命现象，如基本粒子、星球、氨基酸、细胞等的演化，都是源自单一性而渐渐发展为复杂性，当代的有神智慧设计论(Intelligent Design)，提出由讯息理论所导出的不可化约之复杂性（irreducible complexity） ，正表明复杂性并非由单一性演化而来，恰恰点出进化论其问题之所在。所以神圣三一逻辑看似违背人间逻辑常理，实因为人类之有限与堕落，例如量子力学之波粒共存性，只表明无法以古典逻辑和人间常理去解释，但还是有一套其量子运作之逻辑；所以古典逻辑与量子逻辑以及所有其它的逻辑系统的最终基础 ，不在物自身，也不在堕落的人理性，而在神圣三一逻辑。

1+1 为何等于 2

證明: 1+1=2


1先瞭解peano 公設：所謂自然數,就是滿足下列條件,


a.一集合N 中,有元素n,及後繼元素n+,n+與n 對應.


b.元素e 必定屬於N 中.


c.元素e 在N 中不為任一元素的後繼元素.


d.N 中的元素,a+=b+則a=b.(元素唯一)


e.(歸納公設)S 為N 的子集,e 屬於S,n 屬於S,n+也屬於S.那麼S=N.


N 就是我們說的自然數集合.


其中我們規定e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此類推.


2. 再來定義加法,


加法(+)為一函數,這函數滿足兩個條件


1.(+)(n,e)=n+ 寫成大家熟悉的式子1.n(+)e=n+


2.(+)(n,m+)=((+)(n,m))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+


滿足上面條件的函數(+),我們稱為加法+.(+):=+


滿足這兩條件的函數是可以證明存在且唯一：證明如下


因為(+)(e,e)=e+


e(+)e=e+


所以1+1=2 得證.


存在：


e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然數


唯一：


n N " Î ，


+(n,e)=n+


+(n,e+)=(+(n,e))+


+(n,e+)+)=………


故(+)存在且唯一


上述證明翻成白話文如下：


自然數系依加法運算分別是：1，1+，(1+)+，……。而這些1+，（1+）+，…就用符號2，3，…


表示，所以1 + 1指的是1後面那一個數字，也就是1+，自然就是2。


為什麼會有Peano 公設，及定義加法，這起源於十九世紀末，二十世紀初，Hibert，Brouwer，因物理上狹義相對論，及量子論推翻了物理舊基礎，而數學家們因此想證明，數學是有堅固基礎，是不變的真理。所以希望能從邏輯上建立一個完整、嚴密的基礎，於是第一個當然針對自然數系開始，希望能像歐氏幾何一樣，從基本公設，經由邏輯就可以得到完整的自然數系性質，所以歸結出Peano 五個公設（其實後人把它進一步歸結成三個），而羅素與他的老師懷海德合寫<<數學原理>>三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 擬了一連串計畫要把數學的基礎轉化成邏輯，這樣一來，數學家就可以宣稱「數學是真理」。不幸的是，1929年Godel 23歲時證明了一個定理：


不完全性定理：

如果有一個系統包含算術，而且這一系統的基本假設並不會互相矛盾，那麼這個系統中一定存在一個命題，這一個命題的肯定或否定都無法證明。所以數學並不只是邏輯。當然「1 + 1 = 2」的證明是否很有意義，可以從Godel的定理來看看。

簡單的方法：

1+1=2。。。(1+1)-1=2-1。。。1=1成立

1+1>2。。。(1+1)-1>2-1。。。1>1不成立

1+1<2。。。(1+1)-1<2-1。。。1<1不成立